微分幾何是運(yùn)用微積分的理論研究空間的幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現(xiàn)代微分幾何開(kāi)始研究更一般的空間----流形。微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)等其他數(shù)學(xué)分支有緊密的聯(lián)系，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展也有重要影響。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對(duì)象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長(zhǎng)、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開(kāi)的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。
在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測(cè)地線，還要討論測(cè)地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。
在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對(duì)任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。
在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過(guò)程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。
廣義相對(duì)論是阿爾伯特·愛(ài)因斯坦于1915年發(fā)表的用幾何語(yǔ)言描述的引力理論（發(fā)表于《普魯士科學(xué)院會(huì)議報(bào)告》1915年，778-786），它代表了現(xiàn)代物理學(xué)中引力理論研究的最高水平。廣義相對(duì)論將經(jīng)典的牛頓萬(wàn)有引力定律包含在狹義相對(duì)論的框架中，并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用等效原理而建立。在廣義相對(duì)論中，引力被描述為時(shí)空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時(shí)空曲率與處于時(shí)空中的物質(zhì)與輻射的能量-動(dòng)量張量直接相聯(lián)系，其聯(lián)系方式即是愛(ài)因斯坦的引力場(chǎng)方程（一個(gè)二階非線性偏微分方程組）。
從廣義相對(duì)論得到的有關(guān)預(yù)言和經(jīng)典物理中的對(duì)應(yīng)預(yù)言非常不相同，尤其是有關(guān)時(shí)間流逝、空間幾何、自由落體的運(yùn)動(dòng)以及光的傳播等問(wèn)題，例如引力場(chǎng)內(nèi)的時(shí)間膨脹、光的引力紅移和引力時(shí)間延遲效應(yīng)。廣義相對(duì)論的預(yù)言至今為止已經(jīng)通過(guò)了所有觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證——雖說(shuō)廣義相對(duì)論并非當(dāng)今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符合的最簡(jiǎn)潔的理論。不過(guò)，仍然有一些問(wèn)題至今未能解決，典型的即是如何將廣義相對(duì)論和量子物理的定律統(tǒng)一起來(lái)，從而建立一個(gè)完備并且自洽的量子引力理論。
